Come ho detto il Tutorial era originariamente rivolto a ragazzi del Liceo Scientifico. Se non siete studenti delle scuole superiori e non ricordate più alcuni argomenti di matematica potete guardare qui.
L'Algebra di Boole è un insieme di regole matematiche che trova applicazione in moltissimi campi dell'attività scientifica, tra i quali la logica, l'informatica e la costruzione di circuiti elettronici. Deve il suo nome al matematico inglese George Boole (1815 - 1864) che per primo pubblicò un libro su di essa.
I principi dell'Algebra di Boole sono i seguenti:
La connessione con la logica è abbastanza evidente. Prendiamo una qualsiasi affermazione che può essere vera o falsa (ad esempio: "Oggi piove", "Io ho 18 anni", "Roma è la capitale della Spagna"): essa può essere pensata couna variabile booleana (che si denota in genere con una lettera maiuscola). Combinando una o più variabili per mezzo dei connettivi (come nelle espressioni matematiche) possiamo ottenere affermazioni più complesse, delle quali possiamo sapere il valore di verità in base a quello delle variabili.
Il NOT inverte il valore di verità di una variabile: se A è vera NOT A sarà falsa e viceversa. Nel liguaggio corrente possiamo dire che se "Roma è la capitale della Spagna" è falsa, "Roma NON è la capitale della Spagna" è vera.
Questa è quindi la tavola di verità del connettivo NOT:
| A | NOT A |
|---|---|
| True | False |
| False | True |
Il connettivo AND si applica a due variabili ed è vero solo se entrambe le variabili sono vere. Questa è la sua tavola di verità:
| A | B | A AND B |
|---|---|---|
| True | True | True |
| True | False | False |
| False | True | False |
| False | False | False |
In pratica usiamo l'AND quando molte condizioni devono essere vere contemporaneamente: ad esempio "Per accedere al concorso è necessario avere meno di 30 anni e non aver riportato condanne penali". Potrò accedere al concorso se è vera A AND B, dove A è "Ho meno di 30 anni" e B è "Non ho riportato condanne penali" (basta che una delle due non sia verificata e non avrò i requisiti necessari).
Infine il connettivo OR si applica sempre a due variabili ed è vero se almeno una delle variabili è vera. Questa è la sua tavola di verità:
| A | B | A OR B |
|---|---|---|
| True | True | True |
| True | False | True |
| False | True | True |
| False | False | False |
L'OR si applica quando abbiamo tante condizioni, di cui basta che una sia vera: ad esempio "Possono avere il biglietto ridotto i minori di 18 anni ed i gruppi di almeno 20 persone". Posso avere il biglietto ridotto se è vera A OR B, dove A è "Ho meno di 18 anni" e B è "Faccio parte di un gruppo di almeno 20 persone". Notate che in questo caso è possibile che siano vere contemporaneamente tutte e due le condizioni.
In matematica delle tipiche affermazioni che possono essere vere o false riguardano la relazione tra due numeri: ad esempio "3 è minore di 5" (in simboli "3 < 5"), o "x è diverso da 4" ("x ≠ 4") ecc. Tramite i connettivi logici possiamo formare proposizioni più complesse, come "x è compreso tra 2 e 10" (in simboli "2 ≤ x ≤10), che si può scrivere nell'algebra di Boole come "2 ≤x" AND "x ≤10" (infatti devono essere vere contemporaneamente tutte e due le condizioni).
Un ultimo avvertimento: in questa breve trattazione ho usato la simbologia standard della Matematica: non confondete i simboli usati qui con quelli di Python (ad esempio in Python not, and, or si scrivono con le lettere minuscole, e "≤" si scrive "<=";).
Questo argomento può forse essere un po' complesso per chi non ha un adeguato retroterra matematico, ma si presta molto bene alla nostra trattazione perchè è un esempio di procedimento che non si riduce all'applicazione di una formula, ma richiede di seguire strade diverse in base a certe condizioni.
Un'equazione di secondo grado ha la forma ax2 + bx + c = 0, dove la x è l'incognita (che compare appunto al quadrato) ed a, b, c sono tre numeri dati (i coefficienti dell'equazione). Per risolverla bisogna trovare i valori della x che rendono appunto il primo membro uguale a 0.
Ad esempio data l'equazione x2 - 6x + 8 = 0, abbiamo a = 1, b = -6 e c = 8, e le soluzioni sono x = 2 e x = 4 (provate a sostituire questi valori alla x e a fare i calcoli, vedrete che vi verrà 0).
Dati i tre coefficienti a, b e c, per trovare le soluzioni si usa la nota formula risolutiva:
che necessita di qualche spiegazione.
Notiamo l'espressione b2-4ac che si trova sotto la radice: essa si chiama discriminante dell'equazione e si denota di solito con la lettera greca Δ (delta). Quest'espressione è importante perchè in base al suo valore dovremo percorrere tre strade diverse:
Provate per esercizio a risolvere queste equazioni: